Congruential Prime Sieve (CPS) : Spécialisation par Famille Arithmétique pour la Présélection de Candidats Premiers

FR : Ce dépôt présente une méthodologie de criblage par spécialisation arithmétique, appliquée successivement à deux familles de nombres premiers : les nombres de Mersenne et les nombres de Sophie Germain. L'angle de recherche consiste à exploiter les contraintes modulaires propres à chaque famille pour réduire drastiquement l'espace des candidats à tester, avant même d'appeler un test de primalité. Contrairement aux tests de primalité déterministes (Lucas-Lehmer, Miller-Rabin), qui requièrent une puissance de calcul massive, notre approche se concentre sur un filtre par famille arithmétique à faible coût computationnel, fondé sur l'analyse des congruences des candidats et de leurs associés, combiné par le théorème des restes chinois. Partie I — Famille Mersenne (version 1.0) : Le crible identifie les classes viables des facteurs potentiels `2kp+1` de `M_p = 2^p - 1`, en éliminant par congruence les classes où un petit premier diviserait le facteur. Un pré-filtre de Fermat rapide élimine ensuite les composés en temps logarithmique. La validation repose sur un critère statistique original — le Certificat par Divergence Statistique — comparant le taux de survie au trial division entre une cohorte structurée (marche sur les nombres hautement composés) et une cohorte aléatoire. Partie II — Famille Sophie Germain (version 1.1) : Le crible opère sur les classes de `k` (où `p = 6k+5`) en éliminant simultanément les classes où `p` ou `2p+1` serait divisible par un petit premier. La détection de chaînes de safe primes repose sur une programmation dynamique par héritage, avec un générateur de raisons hautement composées. Le critère de validation original repose sur le taux de passage du test de Fermat (`2^{2p} ≡ 1` modulo `2p+1`), qui capture la propriété structurelle que l'associé `2p+1` est moins souvent divisible par les petits facteurs. HTML du PDF Germain en SHA 3-512 : d6c86e8a9311a4113e55d0caee587849db152b85797cf4d4d08a34b0103df8ef6a100be96235fb549e5a2ed949d8195e12a15919b39d3461f348cec8821aed83 Les versions ultérieures étendront cette méthodologie aux familles Fermat et Proth en adaptant les filtres à leurs structures arithmétiques propres. Les tests proposés ne constituent pas des certifications de primalité, mais des filtres préalables efficaces. Le prototype est implémenté en Python 3 pour la traçabilité ; une version production nécessiterait une implémentation en langage compilé. EN : This repository presents a sieving methodology by arithmetic specialization, successively applied to two families of prime numbers: Mersenne primes and Sophie Germain primes. The research angle consists in exploiting the modular constraints specific to each family to drastically reduce the space of candidates to be tested, before even calling a primality test. Unlike deterministic primality tests (Lucas-Lehmer, Miller-Rabin), which require massive computational power, our approach focuses on an arithmetic family filter at low computational cost, based on the analysis of the congruences of candidates and their associates, combined via the Chinese Remainder Theorem. Part I — Mersenne Family (version 1.0) : The sieve identifies the viable classes of potential factors `2kp+1` of `M_p = 2^p - 1`, eliminating by congruence the classes where a small prime would divide the factor. A rapid Fermat pre-filter then eliminates composites in logarithmic time. Validation relies on an original statistical criterion — the Statistical Divergence Certificate — comparing the trial division survival rate between a structured cohort (walk on highly composite numbers) and a random cohort. Part II — Sophie Germain Family (version 1.1) : The sieve operates on the classes of `k` (where `p = 6k+5`) by simultaneously eliminating the classes where `p` or `2p+1` would be divisible by a small prime. Safe prime chain detection relies on dynamic programming by inheritance, with a highly composite reason generator. The original validation criterion relies on the Fermat-pass rate (`2^{2p} ≡ 1` modulo `2p+1`), which captures the structural property that the associate `2p+1` is less often divisible by small factors. d6c86e8a9311a4113e55d0caee587849db152b85797cf4d4d08a34b0103df8ef6a100be96235fb549e5a2ed949d8195e12a15919b39d3461f348cec8821aed83 Future versions will extend this methodology to the Fermat and Proth families by adapting the filters to their specific arithmetic structures. The proposed tests do not constitute primality certifications, but efficient preliminary filters. The prototype is implemented in Python 3 for traceability; a production version would require a compiled language implementation.