Crible orbital et navigation entropique dans les chaînes de premiers

FRANÇAIS : Cette étude présente deux contributions complémentaires à la théorie analytique des nombres et à l'algorithmique des nombres premiers. D'une part, la Loi Logarithmique Discrète du Crible (LLDC), un modèle produit-eulérien heuristique qui prédit la distribution du plus petit facteur premier (fossoyeur) dans les échecs de gap entre nombres premiers consécutifs. Ce modèle est validé empiriquement sur 664 579 premiers et établi comme conséquence conditionnelle de l'hypothèse de Hardy-Littlewood pour les 2-uplets, avec une compatibilité inconditionnelle prouvée par les bornes du crible de Brun-Titchmarsh et le lemme fondamental de Rosser-Iwaniec. D'autre part, la famille d'algorithmes Sertakis, des générateurs de primalité séquentiels auto-apprenants qui naviguent dans l'espace des congruences par une métrique d'entropie de Shannon, choisissant dynamiquement le modulo le plus informatif à chaque position. La session culmine avec le théorème du forçage — l'impossibilité arithmétique des chaînes de Cunningham hybrides — et le crible orbital, un algorithme déterministe qui certifie 36 190 survivants sans petit facteur sur l'intervalle [30031, 10^10]. Les résultats incluent une chaîne de Cunningham de profondeur 8 (9 premiers), la confirmation de la supériorité des modulos exotiques sur les primoriels, et une loi d'échelle expliquant la borne de profondeur maximale. Perspectives : chaînes Cunningham-Sertakis alternées, formalisation du crible orbital, et montée en échelle GPU. ENGLISH : This study presents two complementary contributions to analytic number theory and prime number algorithmics. On one hand, the Discrete Logarithmic Sieve Law (LLDC), a product-Euler heuristic model that predicts the distribution of the smallest prime factor (gravedigger) in consecutive prime gap failures. This model is empirically validated on 664,579 primes and established as a conditional consequence of the Hardy-Littlewood 2-tuple hypothesis, with unconditional compatibility proved via Brun-Titchmarsh sieve bounds and the Rosser-Iwaniec fundamental lemma. On the other hand, the Sertakis family of algorithms, self-learning sequential primality generators that navigate congruence space via a Shannon entropy metric, dynamically choosing the most informative modulo at each position. The session culminates with the forcing theorem — the arithmetic impossibility of hybrid Cunningham chains — and the orbital sieve, a deterministic algorithm certifying 36,190 survivors without small factors on the interval [30031, 10^10]. Results include a Cunningham chain of depth 8 (9 primes), confirmation of the superiority of exotic moduli over primorials, and a scaling law explaining the maximum depth bound. Perspectives: alternating Cunningham-Sertakis chains, formalization of the orbital sieve, and GPU scaling.