Chasse aux taxicabs : cribles modulaires et facteurs de scission dans Z[ω]

TITRE FRANÇAIS Chasse aux taxicabs : cribles modulaires et facteurs de scission dans Z[ω] TITRE ANGLAIS A Sieve-Theoretic Characterization of Splitting Factors for Taxicab Numbers via Eisenstein Integers AUTEURS Antoine Couet (Architecte1995), Kimi K 2.6 Thinking, Kimi K3 RÉSUMÉ FRANÇAIS Ce travail étudie les nombres de Taxicab et leurs facteurs de scission (splitting factors) à travers le prisme des entiers d'Eisenstein Z[ω]. Nous démontrons le Théorème du Crible dans Z[ω] : pour N = Ta(6) × p³, tout diviseur s se décompose sous la forme s = s₀ × pᵃ avec a ∈ {0,1,2,3}, et nous caractérisons exactement quand la représentation associée est primitive ou dilatée. Ce résultat implique une borne finie p ≤ 6773 pour les clefs de type a = 3 et une obstruction modulaire p ≡ 1 (mod 3) pour les clefs de type a = 0. Nous implémentons un crible prédictif exact qui identifie les quatre facteurs de scission de Ta(6) — {101, 127, 139, 727} — sans calculer aucune représentation, validé exhaustivement sur les 664 579 premiers p < 10⁷. Nous en déduisons que Ta(6) × 101³ = BTa(7) est le plus petit nombre à 7 représentations dans la famille cubique, renforçant ainsi la borne de Boyer (2008). Trois conjectures ouvertes sont formulées sur la raréfaction, le caractère cubique et l'unicité des facteurs de scission. Le dépôt inclut les codes sources Python, les jeux de données JSON et les manifestes SHA3-512 associés. ABSTRACT ENGLISH This work studies Taxicab numbers and their splitting factors through the lens of Eisenstein integers Z[ω]. We prove the Sieve Theorem in Z[ω] : for N = Ta(6) × p³, every divisor s decomposes as s = s₀ × pᵃ with a ∈ {0,1,2,3}, and we characterize exactly when the associated representation is primitive versus dilated. This result implies a finite bound p ≤ 6773 for type a = 3 keys and a modular obstruction p ≡ 1 (mod 3) for type a = 0 keys. We implement an exact predictive sieve identifying the four splitting factors of Ta(6) — {101, 127, 139, 727} — without computing any representation, exhaustively validated over all 664 579 primes below 10⁷. We deduce that Ta(6) × 101³ = BTa(7) is the smallest 7-representation number in the cubic family, reinforcing Boyer's 2008 bound. Three open conjectures are formulated on rarity, cubic character, and uniqueness of splitting factors. The deposit includes Python source code, JSON datasets, and associated SHA3-512 manifests. MOTS-CLÉS FRANÇAIS nombres de Taxicab, entiers d'Eisenstein, facteurs de scission, réciprocité cubique, théorie algorithmique des nombres, cribles modulaires, nombres de Hardy-Ramanujan KEYWORDS ENGLISH Taxicab numbers, Eisenstein integers, splitting factors, cubic reciprocity, computational number theory, modular sieves, Hardy-Ramanujan numbers LICENCE MIT RÉFÉRENCES CLÉS Boyer 2006-2008 (Journal of Integer Sequences), Benfield 2024 (Ramanujan Journal), Monsky 2023 (arXiv), Dasgupta-Voight 2023 (arXiv), Ireland-Rosen 1990 (GTM 84), Ramanujan 1915 (PLMS) NOTES Couverture générée par Gemini Flash. Ce dépôt est le fruit d'une collaboration hybride humain-IA au sein du projet Cathédrale 1995. Forge. EDIT V2 : Données étendues jusqu'à BTa(23) via Boyer et Wroblewski (Su 2016, OEIS A011541), avec factorisations vérifiées bit pour bit. Distinction de deux types de brisures dans la mécanique cubique : Type I (rupture de noyau, k=11, changement de courbe elliptique) et Type II (cube rationnel, k=19, courbe invariante). La Conjecture SRM v2.0 est précisée : k=19 n'est pas un seuil, le prochain seuil Type I est attendu vers k=29. Modélisation quadratique de la croissance : log₁₀(BTa(k)) ≈ 0,29 k² sur l'ère cubique k=6..23, avec prédictions falsifiables pour k=24..30 (BTa(24) ≈ 10¹⁸⁸). Le crible Z[ω] est réinterprété comme la filtration p-adique des points entiers sur la courbe elliptique Eₙ : le rank est invariant sous magnification cubique (E_{n·m³} ≅ Eₙ), seule la divisibilité filtrée prédit les splitting factors. L'infinitude des Taxicabs est un théorème (Fermat 1657, Hardy-Wright th. 412), non une conjecture ; seule la minimalité BTa(k) = Ta(k) reste ouverte. Deux courbes elliptiques couvrent toute l'ère cubique : Ère I (k=5-10, noyau 82652823799 contenant 1729) et Ère II (k=11-23, noyau 3956875867). Cinq prédictions falsifiables sont formalisées. Le document principal, ses codes Python, ses jeux JSON et ses manifestes SHA3-512 restent inchangés. Forge. EDIT V2 (English) : Extended data to BTa(23) via Boyer/Wroblewski (Su 2016, OEIS A011541). Two types of ruptures in the cubic chain : Type I (core break, k=11, elliptic curve switch) and Type II (rational cube, k=19, invariant curve). SRM v2.0 refined : k=19 is not a threshold, next Type I threshold expected near k=29. Quadratic growth model : log₁₀(BTa(k)) ≈ 0.29 k² over k=6..23, with falsifiable predictions for k=24..30. The Z[ω] sieve is the p-adic filtration of integral points on Eₙ : rank is invariant under cubic magnification, only filtered divisibility predicts splitting factors. Taxicab infinitude is a theorem (Fermat 1657, Hardy-Wright th. 412) ; only minimality BTa(k) = Ta(k) remains open. Two elliptic curves cover the entire cubic era. Five falsifiable predictions formalized. Main document, Python code, JSON datasets and SHA3-512 manifests unchanged. Forge. API freemium à venir après itérations et améliorations du travail. Edit V3 visant les fichiers V301 et autres, PDF principal mis à jour : FR Ce dépôt scelle la cartographie exhaustive des splitting factors de Ta(6) via le crible universel dans l'anneau d'Eisenstein Z[ω] et l'énumération des points entiers des courbes de Mordell associées. Nous démontrons que les quatre clefs de Boyer (101, 127, 139, 727) sont exactement les seules clefs splitting, établissant la complétude de la famille cubique à cet étage. Parallèlement, nous falsifions l'hypothèse du noyau cube-free et le critère de Monsky (I), et nous quantifions l'heuristique de Poisson sur les sauvages. La conjecture Ta(7) = BTa(7) reste ouverte : aucun sauvage n'a été trouvé, mais sa non-existence n'est pas prouvée. EN This deposit seals the exhaustive cartography of Ta(6)'s splitting factors via the universal sieve in the Eisenstein ring Z[ω] and the enumeration of integral points on the associated Mordell curves. We prove that Boyer's four keys (101, 127, 139, 727) are exactly the only splitting keys, establishing the completeness of the cubic family at this stage. In parallel, we falsify the cube-free core hypothesis and Monsky's criterion (I), and we quantify the Poisson heuristic on wild representations. The conjecture Ta(7) = BTa(7) remains open: no wild 7-way has been found, but its non-existence is unproven. Édit V4 — Incise prospective : nous conjecturons que le théorème de structure du Crible Universel Z[ω] est transposable à d'autres anneaux cyclotomiques et équations diophantiennes. Nous esquissons des preuves de concept sur le problème de Sylvester (cubes rationnels) et les quintiques (sommes de deux 5èmes puissances), et évaluons honnêtement les murs théoriques et empiriques de cette transposition. Edit V4 — Prospective digression: we conjecture that the structural theorem of the Universal Sieve Z[ω] is transposable to other cyclotomic rings and Diophantine equations. We sketch proofs of concept on Sylvester's problem (rational cubes) and quintics (sums of two fifth powers), and honestly assess the theoretical and empirical walls of this transposition. Édit V5 : Cette session ferme définitivement les familles cubiques descendantes des taxicabs historiques : aucun 7-way ne naît de cette généalogie, hors le chemin canonique Ta(5) → Ta(6) → BTa(7). Nous avons ensuite traqué les 7-way sauvages — ces nombres à 7 représentations primitives qui n'hériteraient d'aucun taxicab. L'exploration a révélé des créatures arithmétiques inattendues : des 6-way oubliés, et surtout des 3-way orphelins, baptisés les Faux Taxis Hors Piste, qui vivent entre Ta(3) et Ta(4) sans ancêtre cubique. Leur structure auto-suffisante — les normes x²−xy+y² ne consomment que les facteurs premiers de N — est inédite. Aucun de ces "sauvages" n'a atteint k = 4, validant empiriquement la Conjecture du Seuil K=4 jusqu'à 1.28×10¹¹. Pour fermer le Mur Arithmétique — prouver l'absence de tout 7-way dans l'intervalle [Ta(6), BTa(7)] — nous avons forgé le Crible de l'Intervalle, un outil chirurgical à trois étages qui élimine 100% des candidats riches en diviseurs sans toucher BTa(7). L'intervalle testé est très réduit mais le crible laisse bien passer les vrais taxicabs. La preuve exhaustive reste à bâtir. This session definitively closes the cubic descendant families of historical taxicabs: no 7-way emerges from this genealogy, except the canonical path Ta(5) → Ta(6) → BTa(7). We then hunted wild 7-ways — numbers with 7 primitive representations that would inherit from no taxicab. The exploration revealed unexpected arithmetic creatures: forgotten 6-ways, and above all orphaned 3-ways, christened the Off-Road Fake Taxis, living between Ta(3) and Ta(4) with no cubic ancestor. Their self-sufficient structure — the norms x²−xy+y² consume only the prime factors of N — is unprecedented. None of these "wild" numbers reached k = 4, empirically validating the Threshold Conjecture K=4 up to 1.28×10¹¹. To close the Arithmetic Wall — proving the absence of any 7-way in the interval [Ta(6), BTa(7)] — we forged the Interval Sieve, a three-stage surgical tool that eliminates 100% of divisor-rich candidates without touching BTa(7). Very small interval but all real Taxicabs passed. The exhaustive proof remains to be built.