平移补集塔式筛法对Polignac猜想的证明

本文在塔式筛法框架下引入平移补集技巧,给出该猜想的一个新证明。与经典筛法不同,塔式筛法逐层剔除模每个素数的至多两个固定剩余类,幸存集保持模$Q_i$的完整周期结构,每一步的误差被绝对常数控制($|E_i|\le2$),从而彻底解决了误差累积问题。为绕过奇偶障碍,我们选取平方区间$A=[0,P_t^2-k-1]$,使得区间内满足同余条件的$x$自动给出素数对$(x-k,x+k)$。通过分析补集$C=B\setminus A$($B=[0,Q_t-1]$)并平移至$C^*=[0,M-1]$,利用塔式筛得到$C^*$中好点个数的上界,进而导出$A$中好点个数的下界$N_A\ge (P_t^2-k)A_t-2t$,其中$A_t=\frac12\prod_{i=2}^t\frac{P_i-2}{P_i}$。应用Mertens定理的显式下界,证明当$t\ge 10^4$时$N_A>0$且$N_A\to\infty$($t\to\infty$),从而直接得到无穷多对素数。整个证明构造性强、误差可控,不依赖任何未证明的猜想。