A Preregistered Test of the Radical Independence Heuristic at the Edge Systematic Excess of q > 1 Arrival Counts against the Surrogate Null (c ? 10?)

この研究では、abc 予想の Robert–Stewart–Tenenbaum (RST) 改良版の根底にある根本的な独立性ヒューリスティックの、エッジ領域における事前登録された計算テストを提示します。先行研究 (論文 A) では、局所的な素数構造を大域的な独立性の問題から分離した後、中規模および大規模素数チャネル (p > 13) の大部分において、この独立性の仮定に反する検出可能な依存関係は見つかりませんでした。本研究でテストするのは、RST の独立性の仮定そのものではなく、その最も単純な代理実装 (サイズと共素性のみを (a,b) に一致させるヌルモデル) が、エッジでの到着率、つまり品質 q = log c / log rad(abc) が 1 を超えるトリプルの数を正しく予測するかどうかです。 方法論的貢献として、代理変数不変のテール保持基準 S_tail = {rad(a)·rad(b) ≤ 0.55c} を設計し、その損失のないカバレッジを証明します。この基準の下で保持されたサブセットに代理変数を適用すると、それを母集団全体に適用した場合とまったく同じ予測分布が得られます。選択においてテスト対象の量 rad(c) を使用しないことで、設計は実現値に基づく選択によって生じる偽の依存性を構造的に回避します。c ≤ 10⁶ の原始的な abc トリプルのストリームを網羅的にスキャンし、テールに 2850 万を網羅的に保持し、バルクから 1600 万の均一サンプルを抽出しました。到着数(T1、主要)、一般化パレート近似による裾の形状(T2)、および極値集合の構成の優越確率(T3)という3つの事前登録統計量を、サイズと共素性(B = 300)を維持する代理ヌルアンサンブルと比較した。データを見る前に、すべての決定境界と検出力設計を確定した。 一次テストT1は、偏差が検出されたと判定されました。実データにおけるq > 1トリプルのカウント(1,269)は、サロゲートヌル予測(937.6)を約35%上回りました(Z = +10.8、比率1.35)。この超過比率は、c ≤ 5800からc ≤ 10⁶までの2桁以上のスケールにわたって、約1.34~1.36で安定していました。一方、二次診断では、裾の形状(T2、一次分位数)と極値集合の構成(T3)は、いずれも登録された等価性の範囲内に収まり、ヌルと区別できませんでした。総合すると、検出された偏差は、裾の形状や極値集合の構成に変化がないにもかかわらず、エッジ到着率がほぼ均一に乗法的に増加したという特徴があります。 q > 1 トリプルの完全性は、社内生成、OEIS での独立した列挙、および主要な de Smit データベースの 3 方向の相互チェックによって確認されました。 この結果は、論文 A で報告されたバルクにおける独立性のサポートと一致しています。中規模および大規模の素数チャネルはバルクでは独立しているように見えますが、エッジ到着率は最も単純な代理実装の予測よりも一貫して高くなっています。この過剰が既知の局所構造のみで説明できるかどうかを分離するには、局所的に条件付けられた代理が必要であり、次の段階 (論文 C) の主題です。この結果は、RST 独立性ヒューリスティックを否定するものではなく、漸近定数 4√3 にも関係ありません。有限スケールで、透明な事前登録設計の下で、そのヒューリスティックの最も単純な代理実装がエッジ到着率を予測できない特定の定量的に特徴付けられた方法を特定します。