二次生成規則としての平方同期とランダウの4問題の関係

自然数には、奇数和が平方数を生成する一次生成規則 (例: 1+3=2², 1+3+5=3² ...) が存在する。 同様に、2種の個数加算 a+b の平方 (a+b)² = a² + b² + 2ab も自然数に対して 二次生成規則を持ち、 奇素数 a と奇合成数 b の階段増加、同期、 そして生成バッファ 2ab が自然数の平方区間に現れる。 特に、二次生成規則から a > a²/(a+b) が常に成立し、 この値が 単調増加することが 平方同期の中心的性質となる。 本 ZIP ファイルの 4 つの HTML ツールは、 この二次生成規則によって発生する「平方同期」を ランダウの4問題の枠組みから確認するためのツールである。 ■ 含まれるツール ● GoldbachViewer.html 偶数 2n における a: 奇素数の個数、b: 奇合成数の個数、Pp: 素数同士のペア数、Cp: 奇合成数同士のペア数、 同種ペアの完全同期振動 ΔP{ Pp - a²/(2a+2b) } = ΔC{ Cp - b²/(2a+2b) } を確認するツール。 ● LegendleVerification.html 平方区間 n² ~ (n+1)² における a: 奇素数の個数、b: 奇合成数の個数、 二次生成規則 a² + b² + 2ab = (n+1)² を確認するツール。 ● LegendleViewer.html 平方数 (n+1)² における a: 奇素数の個数、b: 奇合成数の個数、 生成バッファ 2ab/(a+b) が a と b の増加を支える構造であること、 さらに a > a²/(a+b) が 単調増加することを確認するツール。 ● TwinPrimeViewer.html 平方区間 xn² ~ x(n+1)² における a: 奇素数の個数、b: 奇合成数の個数、 双子素数の実測値 Pp と、 双子素数定数 C₂ を用いた平均値 C₂ * a²/(a+b) の増加を比較し、 平方同期と双子素数の広域密度の関係を確認するツール。