塔式模型筛与平移补集:孪生素数猜想的一个构造性证明

孪生素数猜想断言存在无穷多对相差为2的素数。本文发展了一种新的筛法——塔式模型筛,通过逐层剔除模每个素数的至多两个“坏”剩余类,精确控制每一步的剩余集结构。为避免直接筛选小区间时因周期长度大于区间长度而产生的误差失控,我们引入平移补集方法:将原始补集 \(C = (P_t^2 - 18P_t,\, Q_t]\) 平移为 \(C^* = [1,M]\),其中 \(Q_t = \prod_{j=1}^t P_j\),\(M = Q_t - (P_t^2-18P_t)\)。在平移后的区间上应用从小到大的塔式筛,由于 \(M\) 远大于每一个中间周期 \(Q_i\)(\(i \le t-1\)),每一步的完整周期数 \(c_i \ge 1\),从而经典均匀分布引理严格适用,给出每个剩余类的计数偏差不超过1。递推得到 \(C^*\) 中好点个数的上界 \(N_{C^*} \le M A_t + 2t\),其中 \(A_t = \frac12 \prod_{i=2}^t \frac{P_i-2}{P_i}\)。再利用整个周期 \(B = [1,Q_t]\) 中好点总数 \(r_t = N_A + N_{C^*}\),导出 \(A = [1,P_t^2-18P_t]\) 中好点个数的下界 \(N_A \ge (P_t^2-18P_t)A_t - 2t\)。应用Mertens定理的显式下界,我们证明当 \(t \ge 10^4\) 时 \(N_A > 0\) 且 \(N_A \to \infty\),从而存在无穷多对孪生素数。本方法成功克服了直接筛小区间时 \(c=0\) 导致的误差失控问题,整个证明使用初等数论和经典筛法引理,不依赖于未证明的猜想。