A Proof of Polignac's Conjecture via Translational Tower Sieve

波利尼亚克猜想(1849)断言:对任意正整数 $k$,存在无穷多对素数 $(p, p+2k)$。本文在平移塔式筛与精准切割框架下给出该猜想的严格证明。 我们首先引入允许剩余类集合 $\mathcal{R}_i$ 的概念,它是由同余条件 $\not\equiv \pm k \pmod{P_j}$($j\le i$)定义的模 $Q_i$ 剩余类子集。然后构造基础区间 $B=[1,Q_t]$(完全剩余系)和平移区间 $C=Q_t+A$,定义总区间 $U=B\cup C$。观测区间 $A=[1,L]$ 与 $C$ 平移等价,其中 $L=KQ_j$ 满足 $P_t^2/4 \le L \le P_t^2-k$。 利用 $B$ 的完全剩余系性质,证明 $B$ 部分的幸存点数精确等于 $Q_tA_t$。采用精准切割方法:将 $C$ 按模 $Q_i$ 分解为完整周期和不完整区间,完整周期偏差为零;不完整区间再按模 $Q_{i-1}$ 精准切割为完整子块和残余,证明残余偏差有绝对常数上界 $C_0=6$。这一分析不依赖于等差数列假设,只依赖于周期性和区间分解。 由此建立递推关系 $N_i = N_{i-1}(1-2/P_i) - \Delta_i$,其中 $|\Delta_i| \le C_0$。迭代得到下界 $N_t \ge c P_t^2/(\ln P_t)^2 - C_0 t$,当 $t\to\infty$ 时趋于无穷,从而证明猜想。