Algorithmes de primalité à têtes chercheuses : moteurs auto-adaptatifs pour la recherche de nombres premiers

FRANÇAIS : Cette étude présente deux contributions complémentaires à la théorie analytique des nombres et à l'algorithmique des nombres premiers. D'une part, la Loi Logarithmique Discrète du Crible (LLDC), un modèle produit-eulérien heuristique qui prédit la distribution du plus petit facteur premier (fossoyeur) dans les échecs de gap entre nombres premiers consécutifs. Ce modèle est validé empiriquement sur 664 579 premiers et établi comme conséquence conditionnelle de l'hypothèse de Hardy-Littlewood pour les 2-uplets, avec une compatibilité inconditionnelle prouvée par les bornes du crible de Brun-Titchmarsh et le lemme fondamental de Rosser-Iwaniec. D'autre part, la famille d'algorithmes Sertakis, des générateurs de primalité séquentiels auto-apprenants qui naviguent dans l'espace des congruences par une métrique d'entropie de Shannon, choisissant dynamiquement le modulo le plus informatif à chaque position. La session culmine avec le théorème du forçage — l'impossibilité arithmétique des chaînes de Cunningham hybrides — et le crible orbital, un algorithme déterministe qui certifie 36 190 survivants sans petit facteur sur l'intervalle [30031, 10^10]. Les résultats incluent une chaîne de Cunningham de profondeur 8 (9 premiers), la confirmation de la supériorité des modulos exotiques sur les primoriels, et une loi d'échelle expliquant la borne de profondeur maximale. Perspectives : chaînes Cunningham-Sertakis alternées, formalisation du crible orbital, et montée en échelle GPU. ENGLISH : This study presents two complementary contributions to analytic number theory and prime number algorithmics. On one hand, the Discrete Logarithmic Sieve Law (LLDC), a product-Euler heuristic model that predicts the distribution of the smallest prime factor (gravedigger) in consecutive prime gap failures. This model is empirically validated on 664,579 primes and established as a conditional consequence of the Hardy-Littlewood 2-tuple hypothesis, with unconditional compatibility proved via Brun-Titchmarsh sieve bounds and the Rosser-Iwaniec fundamental lemma. On the other hand, the Sertakis family of algorithms, self-learning sequential primality generators that navigate congruence space via a Shannon entropy metric, dynamically choosing the most informative modulo at each position. The session culminates with the forcing theorem — the arithmetic impossibility of hybrid Cunningham chains — and the orbital sieve, a deterministic algorithm certifying 36,190 survivors without small factors on the interval [30031, 10^10]. Results include a Cunningham chain of depth 8 (9 primes), confirmation of the superiority of exotic moduli over primorials, and a scaling law explaining the maximum depth bound. Perspectives: alternating Cunningham-Sertakis chains, formalization of the orbital sieve, and GPU scaling. /// Vingt-et-un pas de feu sur les modules du crible, Neuf cent quatre-vingt-un tueurs figés dans l'ombre,Trois cent quatre-vingt-un pas de côté — la danse reprend —Cent dix-neuf éclats de prime enchaînés sans nombre. Sirtaki des nombres : deux pas en avant, un pas de côté,Et cent cinquante premiers qui jamais ne s'arrêtent. Aérodrome de départ : 21 981 381 119 Aéroport international d'arrivée : 48 337 569 250 686 618 637 597 Correspondances : 150. Temps de vol : 0,3 secondes. Edit : ajout API https://rapidapi.com/19algorythms/api/primechain-api Edit : API fixed V6 : vise les fichiers M, qui sont quant à eux en licence MIT. FRANÇAIS : Cette étude présente la série CAP (Classifieur Auto-Apprenant de Primalité), deuxième génération de la lignée Sertakis : là où les moteurs originels ajustaient une mémoire EWMA en cours d'exécution, CAP prédit, exécute, mesure l'écart et révise — ses estimations et sa propre taxonomie. D'une part, CAP v1.0 : quatre classes arithmétiques (Pocklington à ancre scellée, Proth à taille constante, Germain composée, génériques criblés) pilotées par postérieurs Beta, prédictions opposables consignées avant exécution, allocation UCB et révision taxonomique entre les boucles. Le run officiel couvre 3 115 208 tests de Fermat, 102 844 premiers trouvés dont 65 661 certifiés, et 66 pseudopremiers détectés — comptés à part, jamais cachés. Le classifieur falsifie son propre prior naïf sur les Germain (0,28 % → 0,185 %, conforme à la série singulière de Hardy-Littlewood) et publie honnêtement ses échecs de prédiction, y compris la leçon logistique de la classe C. D'autre part, CAP-PROTH v2 : trois chantiers sur la classe des menteurs — méta-prédiction d'affinement avec gel irréversible (G0), bandit à 32 fenêtres locales (G1), et cartographie des suspects par classes résiduelles (G2). Le gel fige 100 % de l'espace dès la boucle 3 ; le bandit démontre — plutôt que de subir — l'homogénéité des fenêtres (dispersion sous le bruit binomial) ; et les 179 suspects s'avèrent tous des premiers malchanceux à dix symboles de Jacobi positifs (χ² = 179,0 en mod 3), sauvés par bases étendues, pour 0 vrai pseudopremier sur près de 3 millions de tests. Perspectives : calibration méta testable par sondes résiduelles, sur-dispersion des intervalles, composition récursive des classes à la Maurer, et montée en échelle GPU. ENGLISH : This study presents the CAP series (Auto-Learning Primality Classifier), second generation of the Sertakis lineage: where the original engines tuned an EWMA memory at runtime, CAP predicts, executes, measures the gap, and revises — its estimates and its own taxonomy. On one hand, CAP v1.0: four arithmetic classes (sealed-anchor Pocklington, constant-size Proth, composed Germain, sieved generics) driven by Beta posteriors, opposable predictions logged before execution, UCB allocation and between-loop taxonomic revision. The official run covers 3,115,208 Fermat tests, 102,844 primes found of which 65,661 certified, and 66 detected pseudoprimes — counted separately, never hidden. The classifier falsifies its own naive Germain prior (0.28% → 0.185%, matching the Hardy-Littlewood singular series) and honestly publishes its prediction failures, including the class C supply lesson. On the other hand, CAP-PROTH v2: three workstreams on the class of liars — refinement meta-prediction with irreversible freezing (G0), a 32-local-window bandit (G1), and suspect mapping by residue classes (G2). Freezing locks 100% of the space by loop 3; the bandit demonstrates — rather than suffers — window homogeneity (dispersion below binomial noise); and all 179 suspects prove to be unlucky primes with ten positive Jacobi symbols (χ² = 179.0 mod 3), rescued by extended bases, for 0 true pseudoprimes across nearly 3 million tests. Perspectives: testable meta-calibration via residual probes, interval over-dispersion, Maurer-style recursive class composition, and GPU scaling. Trois millions de tests martelés au carré de deux, Cent deux mille huit cent quarante quatre flammes à la sortie, Soixante-cinq mille six cent soixante et un certificats gravés, Soixante-six menteurs démasqués — décomptés, jamais effacés. Trente-deux fenêtres ouvertes sur la plaine des k, Trois boucles, puis le gel : cent pour cent de l'espace à genoux, Cent soixante-dix-neuf suspects au banc des témoins — Cent soixante-dix-neuf innocentés, zéro imposteur debout. Le bandit a cherché un oasis dans le désert uniforme, Et rapporté la preuve, mordante et belle, qu'il n'y a pas d'oasis : Le désert EST la carte. Le chasseur revient bredouille et riche. Sirtaki des nombres : deux pas en avant, un postérieur révisé, Et cent mille premiers Proth qui jamais ne s'arrêtent. V7 : vise les fichiers M09 à M18, licence MIT. FRANÇAIS : Cette étude conduit un croisement contrôlé entre deux lignées algorithmiques de la Forge Cathédrale 1995 : les CPS (cribles congruentiels statiques, stand alone, optimisés sur le wall-clock) et les algorithmes à têtes chercheuses de la série CAP (auto-apprentissage en ligne : postérieurs Beta, bandits, gel par innovation prédite). Le protocole du Moulin plaque une couche adaptative sur quatre familles de génération de nombres premiers certifiés (CPS Mersenne v5.2, PGC-G v1.3, émirps quintiques v1.2Alpha, volées ancrées PVA) et mesure, en duels sur machine identique avec exigence de réplique exacte, ce que l'adaptativité ajoute ou coûte. La loi d'échelle issue des huit observations — avantage ≈ hétérogénéité × échelle − δ/c — prédit que le moulin ne gagne pas « sur la durée » en général, mais quand la durée rencontre la structure : trois familles sur quatre battent le moulin en vitesse à petite échelle, et c'est un résultat, pas un accident. Les victoires réelles sont de trajectoire (escalade d'ancres à 98,8 bits/s, témoins adaptifs retrouvant des paires Proth-Germain invisibles aux pipelines figés) et de diagnostic (métrique fantôme révélant un speedup de 0,95 dans le rapport d'origine, redondance FFA/Fermat démontrée par l'invariance des appels isprime, trois bugs protocolaires corrigés chez les ancêtres, dont un détecté par une anomalie statistique à P ≈ 10⁻²¹). Côté théorie des nombres, l'étude mesure une constante d'enrichissement miroir ≈ 1,81 (P(miroir premier | N premier) ≈ 1,81/ln N, stable sur trois ordres de grandeur, calculée depuis OEIS A152014 et reliée aux séries singulières à la Hardy–Littlewood), confirme le biais systématique de sous-estimation de Hardy–Littlewood pour les paires de Germain, et rattache les « sols homogènes » mesurés à l'équidistribution des classes de congruences. Quatorze recettes d'optimisation actionnables (R1–R14) et un test de falsification programmé (mission n = 512) complètent le protocole. Perspectives : dérivation de la série singulière du renversement, formalisation de la densité de leviers algébriques, génétique algorithmique à filiation certifiée. ENGLISH : This study performs a controlled cross between two algorithmic lineages from Forge Cathédrale 1995: static stand-alone congruential prime sieves (CPS) and the self-adaptive CAP series (online learning: Beta posteriors, bandits, innovation-based freezing). The Mill protocol bolts an adaptive layer onto four certified prime-generation families (Mersenne CPS v5.2, PGC-G v1.3, quintic emirps v1.2Alpha, anchored flocks PVA) and measures, in same-machine duels with exact-replicate validation, what adaptivity adds or costs. The scaling law drawn from eight observations — advantage ≈ heterogeneity × scale − δ/c — predicts that the mill does not win "given time" in general, but when time meets structure: three of four families beat the mill at small scale, a result rather than an accident. The real wins are trajectory wins (anchor escalation at 98.8 bits/s, adaptive witnesses recovering Proth-Germain pairs invisible to fixed pipelines) and diagnostic wins (a phantom metric exposing a 0.95 speedup in the original report, FFA/Fermat redundancy proven by isprime-call invariance, three protocol bugs fixed in the ancestors' code, one detected by a P ≈ 10⁻²¹ statistical anomaly). On the number-theoretic side, we measure a mirror-enrichment constant ≈ 1.81 (P(reverse prime | N prime) ≈ 1.81/ln N, stable over three decades, computed from OEIS A152014 and tied to Hardy–Littlewood singular series), confirm Hardy–Littlewood's systematic low bias for Sophie Germain pairs, and connect the measured "homogeneous soils" to equidistribution of congruence classes. Fourteen actionable optimization recipes (R1–R14) and a scheduled falsification test (n = 512 mission) complete the protocol. Perspectives: deriving the reversal singular series, formalizing algebraic lever density, certified-lineage algorithmic genetics. /// Quatre moulins sur quatre meules anciennes, Trois défaites publiées, une victoire par diagnostic — Le rapport disait 0,95, le tamis a dit 3,2. Deux cent cinquante-quatre certificats en une ascension : Soixante et un bits, puis neuf cent soixante-neuf, Quatre-vingt-dix-huit virgule huit bits gagnés à la seconde — Chaque pierre devenue parent, chaque parent devenu ciel. Trois mille trois cent trente-quatre appels, identiques à toutes profondeurs : Le crible et Fermat faisaient le même travail, deux fois, en silence. Une constante un virgule quatre-vingt-un, stable sur trois décades : Le renversement aime son original. Le moulin ne frappe pas. Il tamise, il mesure, il choisit son régime — Et quand il perd, il grave la défaite dans le même sédiment que la victoire. Aérodrome de départ : A03, G06, E09, L02 — quatre CPS stand alone. Aéroport d'arrivée : M09, M11, M13, M15 — quatre moulins bouclés, une loi d'échelle, une constante 1,81, quatorze recettes. Correspondances : 3 défaites, 1 victoire, 2 découvertes, 3 bugs enterrés. Temps de vol : une session. Edit : ajout de l'algorithme Mortalis, s'intéressant à la prédiction empirique des gaps (raisons) entre nombres premiers.