Congruential Prime Sieve (CPS) : Spécialisation par Famille Arithmétique pour la Présélection de Candidats Premiers

FR : Ce dépôt présente une méthodologie de criblage par spécialisation arithmétique, appliquée successivement à trois familles de nombres premiers : les nombres de Mersenne, les nombres de Sophie Germain, et les nombres de Proth à exposants structurés (FEP, Proth-1, Proth+1, Proth-lin). L'angle de recherche consiste à exploiter les contraintes modulaires propres à chaque famille pour réduire drastiquement l'espace des candidats à tester, avant même d'appeler un test de primalité. Contrairement aux tests de primalité déterministes (Lucas-Lehmer, Miller-Rabin), qui requièrent une puissance de calcul massive, notre approche se concentre sur un filtre par famille arithmétique (FFA) à faible coût computationnel, fondé sur l'analyse des congruences des candidats et de leurs associés, combiné par le théorème des restes chinois. Partie I — Famille Mersenne (version 1.0) : Le crible identifie les classes viables des facteurs potentiels `2kp+1` de `M_p = 2^p - 1`, en éliminant par congruence les classes où un petit premier diviserait le facteur. Un pré-filtre de Fermat rapide élimine ensuite les composés en temps logarithmique. La validation repose sur un critère statistique original — le Certificat par Divergence Statistique — comparant le taux de survie au trial division entre une cohorte structurée et une cohorte aléatoire. Partie II — Famille Sophie Germain (version 1.1) : Le crible opère sur les classes de `k` (où `p = 6k+5`) en éliminant simultanément les classes où `p` ou `2p+1` serait divisible par un petit premier. La détection de chaînes de safe primes repose sur une programmation dynamique par héritage. Le critère de validation original repose sur le taux de passage du test de Fermat (`2^{2p} ≡ 1` modulo `2p+1`), qui capture la propriété structurelle que l'associé `2p+1` est moins souvent divisible par les petits facteurs. Partie III — Familles Proth Restreintes (version 1.2) : Cette partie étudie quatre sous-familles des nombres de Proth `N = k·2^n + 1` avec des structures d'exposant particulières : FEP (exposant `n = 2^m`), Proth-1 (`n = 2^m - 1`), Proth+1 (`n = 2^m + 1`), et Proth-lin (`n = m`). Un FFA générique s'adapte mécaniquement à tout exposant, assurant une réduction constante de 2.92×. Un pré-filtre par petits diviseurs (`{23,29,31,37,41,43,47}`) élimine ~15% de composés supplémentaires sans faux négatif. Pivot méthodologique : une première analyse identifiait une « courbe en cloche » de densité pour la famille FEP, culminant à 32.35% au niveau m=4. Une analyse approfondie via le cadre de Bateman-Horn révèle que cette « cloche » est le produit de deux forces monotones — un coefficient de sélection structurelle C(m) qui croît avec le niveau, et une décroissance asymptotique `1/ln(N)` — et non une loi intrinsèque. Le coefficient empirique C(m) culmine à 7.47× pour FEP (m=5) et à 8.80× pour Proth+1 (m=6), tandis que la famille linéaire n'affiche aucun surcroît (C≈0.5). Le modèle de cloche paramétrique `d(m) = A·m·exp(-m/m₀)` a été testé et écarté (MSE élevé, pic décalé). Le scan comparatif confirme que les exposants structurés autour des puissances de 2 produisent des surcroîts de sélection massifs (5–9×), tandis que les exposants linéaires suivent la prédiction du théorème des nombres premiers sans enrichissement. La famille Proth+1, objet d'une étude séparée (CPS v2.0), affiche une fertilité systématiquement supérieure, suggérant un lien avec les diviseurs cyclotomiques. Quatre conjectures ouvertes sont formulées sur la variation de C(m), l'avantage des exposants impairs, le décalage entre pic de densité et pic de sélection, et le calcul de la constante Bateman-Horn en forme close. Le cadre est validé sur la fermeture historique de Fermat (F₀–F₁₁) via le théorème de Lucas et le test de Pépin. Les versions antérieures (V1.0 Mersenne, V1.1 Germain) restent accessibles dans le dépôt. Les tests proposés ne constituent pas des certifications de primalité, mais des filtres préalables efficaces. Le prototype est implémenté en Python 3 pour la traçabilité ; une version production nécessiterait une implémentation en langage compilé. Sceau SHA3-512 (V2) : d6c86e8a9311a4113e55d0caee587849db152b85797cf4d4d08a34b0103df8ef6a100be96235fb549e5a2ed949d8195e12a15919b39d3461f348cec8821aed83 EN : This repository presents a sieving methodology by arithmetic specialization, successively applied to three families of prime numbers: Mersenne primes, Sophie Germain primes, and restricted Proth families (FEP, Proth-1, Proth+1, Proth-linear). The research angle consists in exploiting the modular constraints specific to each family to drastically reduce the space of candidates to be tested, before even calling a primality test. Unlike deterministic primality tests (Lucas-Lehmer, Miller-Rabin), which require massive computational power, our approach focuses on an arithmetic family filter (FFA) at low computational cost, based on the analysis of the congruences of candidates and their associates, combined via the Chinese Remainder Theorem. Part I — Mersenne Family (version 1.0) : The sieve identifies the viable classes of potential factors `2kp+1` of `M_p = 2^p - 1`, eliminating by congruence the classes where a small prime would divide the factor. A rapid Fermat pre-filter then eliminates composites in logarithmic time. Validation relies on an original statistical criterion — the Statistical Divergence Certificate — comparing the trial division survival rate between a structured cohort and a random cohort. Part II — Sophie Germain Family (version 1.1) : The sieve operates on the classes of `k` (where `p = 6k+5`) by simultaneously eliminating the classes where `p` or `2p+1` would be divisible by a small prime. Safe prime chain detection relies on dynamic programming by inheritance. The original validation criterion relies on the Fermat-pass rate (`2^{2p} ≡ 1` modulo `2p+1`), which captures the structural property that the associate `2p+1` is less often divisible by small factors. Part III — Restricted Proth Families (version 1.2) : This part studies four subfamilies of Proth numbers `N = k·2^n + 1` with particular exponent structures: FEP (exponent `n = 2^m`), Proth-1 (`n = 2^m - 1`), Proth+1 (`n = 2^m + 1`), and Proth-linear (`n = m`). A generic FFA adapts mechanically to any exponent, ensuring a constant 2.92× reduction. A small-divisor pre-filter (`{23,29,31,37,41,43,47}`) eliminates ~15% additional composites with no false negatives. Methodological pivot: an initial analysis identified a "bell-shaped" density curve for the FEP family, peaking at 32.35% at level m=4. A deeper analysis via the Bateman-Horn framework reveals that this "bell" is the product of two monotonic forces — a structural selection coefficient C(m) that rises with the level, and an asymptotic decay `1/ln(N)` — rather than an intrinsic law. The empirical coefficient C(m) peaks at 7.47× for FEP (m=5) and 8.80× for Proth+1 (m=6), while the linear family shows no surplus (C≈0.5). The parametric bell model `d(m) = A·m·exp(-m/m₀)` was tested and rejected (high MSE, offset peak). The comparative scan confirms that structured exponents near powers of two produce massive selection surpluses (5–9×), while linear exponents follow the Prime Number Theorem prediction without enrichment. The Proth+1 family, subject of a separate study (CPS v2.0), displays systematically higher fertility, suggesting a link with cyclotomic divisors. Four open conjectures are formulated on the variation of C(m), the advantage of odd exponents, the offset between density peak and selection peak, and the closed-form computation of the Bateman-Horn constant. The framework is validated on the historical Fermat closure (F₀–F₁₁) via Lucas's theorem and Pépin's test. Previous versions (V1.0 Mersenne, V1.1 Germain) remain accessible in the repository. The proposed tests do not constitute primality certifications, but efficient preliminary filters. The prototype is implemented in Python 3 for traceability; a production version would require a compiled language implementation. SHA3-512 seal (V2) : d6c86e8a9311a4113e55d0caee587849db152b85797cf4d4d08a34b0103df8ef6a100be96235fb549e5a2ed949d8195e12a15919b39d3461f348cec8821aed83