La Famille des Échos : arithmétique dynamique, indexation digitale et changements de base

FR Ce travail relève des mathématiques expérimentales. Il explore une famille d'opérateurs arithmétiques, les Échos, construits sur un principe simple : indexer les nombres premiers par une quantité extraite de leur écriture digitale (somme des chiffres, produit, séquence de Thue-Morse, fonction de Möbius, etc.) et faire varier la base de numération comme paramètre de contrôle. Cette indexation digitale arbitraire, appliquée à 50 000 nombres premiers sur 7 bases avec 5 opérateurs distincts, a révélé plusieurs structures inattendues : une prison diophantienne conditionnant l'existence des points fixes, une fonction de pression topologique non-différentiable traduisant une transition de phase entre bassins d'attraction, des nœuds topologiques communs résistant à toute déformation de l'opérateur, et une loi de phase à trois régimes (monopole, forêt cyclique, atlas) selon la base choisie. Les résultats mêlent théorèmes prouvés (borne de contraction, non-différentiabilité de la pression, divergence de l'opérateur à mémoire), conjectures fortes (disparition asymptotique du chiffre 0, indécidabilité potentielle de certains paramètres) et une observation computationnelle riche (système inversé, repunits comme canaux universels, cartographie des 32 nœuds invariants). Ce document constitue une première cartographie ; une V2 devra déterminer un angle d'étude plus précis pour isoler les questions ouvertes les plus fécondes. EN This work belongs to experimental mathematics. It explores a family of arithmetic operators, the Échos, built on a simple principle: indexing prime numbers by a quantity extracted from their digital representation (digit sum, product, Thue-Morse sequence, Möbius function, etc.) and varying the numeral base as a control parameter. This arbitrary digital indexing, applied to 50 000 prime numbers across 7 bases with 5 distinct operators, revealed several unexpected structures: a Diophantine prison conditioning the existence of fixed points, a non-differentiable topological pressure function translating a phase transition between attraction basins, common topological nodes resisting any deformation of the operator, and a three-regime phase law (monopoly, cyclic forest, atlas) depending on the chosen base. The results mix proven theorems (contraction bound, pressure non-differentiability, divergence of the memory operator), strong conjectures (asymptotic disappearance of the digit 0, potential undecidability of certain parameters) and rich computational observation (inverted system, repunits as universal channels, cartography of 32 invariant nodes). This document constitutes a first cartography; a V2 will need to determine a more precise angle of study to isolate the most fertile open questions.