Legendre's Conjecture: Computational Certification and Capacity Constraints via the Residual Class of Non-Bipolar Numbers - Legendre: certificazione computazionale e vincolo di capacità (versione estesa con log e worst-case)

Description (English): This document presents the findings of an extended research project on Legendre's Conjecture, conducted through a symbiotic integration of human mathematical intuition and AI-assisted computational analysis (Zeno/AI). The work documents the methodological steps and raw data leading to the definition of a "Capacity Trap." Through systematic scanning of quadratic intervals up to n=5000 (with sampling up to n=128,000), it is shown that the density of the residual class of "non-bipolar" numbers (composite numbers that are neither sums nor products of two primes) consistently exceeds the residual space allowed by the null hypothesis. The document includes the formalization of the safety margin \Delta(n), the logarithmic worst-case analysis, and proof of the system's structural stability. The results suggest that a counterexample to the conjecture would require a discontinuous collapse of the distribution of composite numbers, which is mathematically incompatible with the observed regularity. Descrizione (Italiano): Questo documento presenta i risultati di una ricerca estesa sulla Congettura di Legendre, condotta attraverso un’integrazione simbiotica tra intuizione matematica umana e analisi computazionale assistita da Intelligenza Artificiale (Zeno/AI). Il lavoro documenta i passaggi metodologici e i dati grezzi che portano alla definizione di una "Trappola di Capacità". Attraverso la scansione sistematica degli intervalli quadratici fino a n=5000 (e campionamenti fino a n=128.000), viene dimostrato che la densità della classe residua dei numeri "non-bipolari" (composti che non sono né somme né prodotti di due primi) eccede costantemente lo spazio residuo concesso dall'ipotesi nulla. Il documento include la formalizzazione del margine di sicurezza \Delta(n), l'analisi del worst-case logaritmico e la prova della stabilità strutturale del sistema, suggerendo che un controesempio alla congettura richiederebbe un collasso discontinuo della distribuzione dei numeri composti, matematicamente incompatibile con la regolarità osservata.