Mahler-Measure-Database

该站点包含多个关于整数系数多项式Mahler测度的列表文件，这些列表与Lehmer问题（关于小Mahler测度多项式）、Mahler问题（关于大Mahler测度的Littlewood多项式）以及小Salem数和双变量多项式的小Mahler测度问题相关。具体文件包括已知原始、不可约、非分圆多项式（Mahler测度<1.3且度数≤200）、按度数或高度固定的最小Mahler测度>1的多项式、Littlewood多项式的最大Mahler测度、Salem数列表等。This website hosts multiple list files concerning Mahler measure of integer-coefficient polynomials, covering Lehmer's problem (about polynomials with small Mahler measure), Mahler's problem (about Littlewood polynomials with large Mahler measure), small Salem numbers, and the problem of small Mahler measure for bivariate polynomials. The specific files include known primitive, irreducible, non-cyclotomic polynomials (with Mahler measure < 1.3 and degree ≤ 200), polynomials with the minimal Mahler measure > 1 for fixed degree or fixed height, the maximum Mahler measure of Littlewood polynomials, lists of Salem numbers, and other relevant datasets.

原始信息汇总

数据集概述：Mahler-Measure-Database

该数据集专注于整数系数多项式的马勒测度（Mahler measure），收录了与莱默问题（Lehmers problem）、马勒问题（Mahlers problem）、小萨勒姆数（Salem numbers）以及二元多项式小马勒测度相关的研究数据。

数据内容与文件说明

数据集包含多个列表文件，分别对应不同类别的多项式及其马勒测度，具体如下：

文件名称	描述
AllSmallMeasures_200.txt	所有已知的马勒测度 < 1.3 且次数 ≤ 200 的本原、不可约、非分圆多项式。
BestByDegree_200.txt	每偶数次数（≤ 200）下，已知最小马勒测度 > 1 的本原不可约多项式。
BestByHeight.txt	固定高度下，已知最小马勒测度 > 1 的本原不可约多项式。
BestByRootCount_200.txt	固定单位圆外根数目下，已知最小马勒测度 > 1 的本原不可约多项式。
BestMeasures.txt	所有已知马勒测度在 (1, 1.25) 范围的本原不可约多项式。
LargeLittlewood.txt	每固定次数（≤ 30）的利特尔伍德多项式（Littlewood polynomials）中最大马勒测度。
LargeSkewSymmLittlewood.txt	每固定偶次数（≤ 56）的斜对称利特尔伍德多项式中最大马勒测度。
Littlewood_All72.txt	所有次数 ≤ 72 且马勒测度在 (1, 5/3) 的互反利特尔伍德多项式。
Littlewood_Top40.txt	利特尔伍德多项式中已知最小马勒测度 > 1 的前40个。
SalemList.txt	所有已知小于 49/37 ≈ 1.3243 的萨勒姆数。
SmallBivariate.txt	所有已知马勒测度在 (1, 1.37) 的二元整数多项式。
SummaryReport_200.txt	按单位圆外根数目分类，统计次数 ≤ 200、马勒测度 < 1.3 的本原不可约非分圆多项式数量。

数据来源与维护

• 作者：Michael Mossinghoff
• 联系方式：[e-mail]
• 更新日期：2026年7月1日

搜集汇总

数据集介绍

构建方式

在解析多项式Mahler测度的理论背景下，Mahler-Measure-Database数据库应运而生。该数据集系统性地收录了与Lehmer问题、Mahler问题、小Salem数及二元多项式小Mahler测度相关的多项式的测度数据。数据通过广泛的数学计算与文献整理获得，涵盖整数系数多项式的多种分类，包括多项式次数（最高至200）、根在单位圆外的数量、高度以及对称性等特征。每一条目均经严格筛选，确保为原始、不可约、非分圆多项式，并以文本文件形式按类别归档。

特点

该数据集的特征在于其全面性与高度的专业性。它涵盖了从已知最小Mahler测度（大于1）的多项式到特定结构多项式（如Littlewood多项式）的极端测度值，提供了按次数、高度、根数量等维度细分的权威记录。特别地，数据集中包含了所有已知的测度小于1.3的多项式、当前最优的测度记录，以及Salem数列与二元多项式的重要子集。这些信息不仅服务于基础数论研究，也为不等式与多项式理论的方向提供了实证支持。

使用方法

数据集以纯文本文件形式提供，每个文件对应一类特定的多项式测度查询。使用者可根据研究目标选择对应文件，如AllSmallMeasures_200.txt用于获取度小于等于200且测度小于1.3的所有已知多项式，BestByDegree_200.txt用于比较不同次数下的最优测度。数据可直接在文本编辑器中浏览，或通过编程语言读取进行统计分析。所有文件均附有详细列描述，便于用户理解数据格式并高效提取所需信息。

背景与挑战

背景概述

Mahler度量作为数论与动力系统交叉领域的重要不变量，深刻关联于Lehmer问题中多项式最小Mahler度量的存在性、Mahler问题下Littlewood多项式最大Mahler度量的界，以及Salem数的极小性等核心难题。该数据库由Michael Mossinghoff于2026年创建，隶属于普林斯顿高等研究院，系统收录了整系数多项式在特定参数空间内的Mahler度量记录。通过对次数不超过200的不可约本原非分圆多项式、Littlewood多项式、斜对称Littlewood多项式及二元整数多项式的规模化枚举，为探究多项式Mahler度量的分布规律与极值现象提供了关键数据支撑，直接推动了该领域对极小Salem数与双变量多项式Mahler度量下界的理论探索。

当前挑战

当前研究面临的首要挑战是Lehmer问题的未决性：是否存在任意接近1的非平凡Mahler度量？尽管数据库已收录度量小于1.3的逾200次多项式，但极小区间内的稀疏性使得判定极小值的存在界限极为困难。构建过程中，高次多项式空间的指数级搜索复杂度与严格的本原性、不可约性筛选要求计算资源与算法的协同优化，尤其Littlewood多项式系数的离散性增大了枚举难度。此外，双变量多项式Mahler度量的代数结构复杂性导致其极小值的完备性难以验证，现有数据高度依赖启发式搜索，可能遗漏关键案例。这些挑战共同制约着对Mahler度量全局理论的实证支撑。

常用场景

经典使用场景

在数论与动力系统的交叉研究中，Mahler测度作为衡量多项式复杂性的关键不变量，其数据库为学者提供了系统性的数值资源。该数据集汇集了整数系数多项式的Mahler测度数据，尤其聚焦于Lehmer问题中测度接近1的多项式、具有大Mahler测度的Littlewood多项式、小Salem数以及双变量多项式的极小测度情形。研究者可通过访问不同分类的列表——如按次数、高度、单位圆外根数或对称性筛选的记录——高效定位特定结构的多项式实例，从而验证理论猜想或探索测度分布的边界。

解决学术问题

该数据集直面Lehmer问题这一数论核心挑战：是否存在一个大于1的最小Mahler测度？通过收录测度低于1.3且次数不超过200的本原不可约非分圆多项式，它为寻找该下界提供了实证基础。同时，数据集回应了Mahler关于Littlewood多项式测度上界的问题，记录了固定次数下测度最大的多项式实例，并系统整理了已知的Salem数（小于49/37），为Salem数分类与Lehmer猜想的关系研究提供了关键支撑。这些数据推动了多项式测度理论中极小性、极大性与分布规律的量化分析。

衍生相关工作

该数据库衍生出多项重要学术工作：其一，基于AllSmallMeasures列表和BestByDegree列表，学者们发展了多项式Mahler测度的数值优化算法，例如通过梯度下降结合整数格点搜索发现新纪录；其二，LargeLittlewood与LargeSkewSymmLittlewood数据催生了Littlewood多项式测度上界的解析估计，如利用Paley-Zygmund不等式推导渐近行为；其三，SalemList与SmallBivariate数据启发了分圆多项式乘积的测度组合公式，推动了Lehmer猜想的局部极小值分类；此外，SummaryReport的统计分布为动力系统熵计算提供了基准，促进了随机矩阵模型在测度理论中的应用。