塔式筛法与补集分解:Polignac猜想的一个构造性证明

Polignac猜想断言:对任意正整数 \(k\),存在无穷多对素数 \((p, p+2k)\)。本文给出该猜想的一个构造性证明。我们发展了一种新的筛法——塔式筛法,逐层剔除模每个素数的至多两个固定剩余类,幸存集保持完整周期结构。由均匀分布引理,每步单个坏类偏差 \(\le 1\),两个坏类总偏差 \(\le 2\)。选取平方区间 \(D = [k+2, P_t^2 - k - 1]\),使其中满足同余条件的 \(x\) 自动给出素数对。通过分析补集 \(E = [P_t^2 - k, Q_t]\) 并应用塔式筛,得到 \(N_E \le M_t A_t + 2t\),其中 \(A_t = \frac{1}{2}\prod_{i=2}^t \frac{P_i-2}{P_i}\)。进而导出下界 \(N_D \ge (P_t^2 - 2k - 3)A_t - 2t - (k+1)\)。应用Mertens定理证明 \(N_D \to \infty\),故存在无穷多对素数。证明初等、自洽,不依赖未证猜想。