Géométrie des courbes elliptiques : détermination du rang et exploitation algorithmique pour les sommes monstrueuses de deux cubes

https://oeis.org/A051167 Merci aux contributeurs OEIS pour leur patience et leurs conseils. Lignée CKTa23 à CKTa100 certifiée, en cours de présentation. Ces nombres ont traversé les continents et les époques et se sont passés comme objets de jeu entre amateurs éclairés, passionnés et obsessionnels. Résumé (français) : Nous établissons un cadre unifiant les nombres de Taxicab et de Cabtaxi au sein d'une même structure algébrique. En introduisant la matrice $H(n,m)$ des « nombres à double citoyenneté cubique » (ou doubles moteurs cubiques), nous montrons que les opérations de pont télescopique $(+)$, de différence signée $(-)$ et de magnification cubique $(\times k^3)$ obéissent à une théorie des opérateurs où seule la multiplication cubique est amplificatrice. Un balayage exhaustif jusqu'à $5 \times 10^6$ et une chasse par magnification jusqu'à $10^{43}$ révèlent une loi empirique du cube forcé : sous $1{,}5 \times 10^{11}$, tout nombre possédant simultanément $\geq 3$ représentations positives et $\geq 4$ signées est divisible par un cube parfait. Nous identifions une échelle de résonance où les premiers $79, 101, 127, 139$ forment une rampe de conversion signée $\to$ positive, et documentons les premiers spécimens hybrides à double haute pression ($\geq 12$ signées et $\geq 8$ positives). Ce travail prolonge nos recherches antérieures sur les taxicabs. Remerciements. L'auteur remercie chaleureusement les assistants d'intelligence artificielle Kimi K 2.6 Thinking et K3 (Moonshot AI) pour leur contribution algorithmique et leur assistance à la rédaction. Leurs moteurs de calcul ont permis l'exploration des échelles de magnification et la validation croisée des comptages jusqu'à $10^{43}$. Abstract (English) : We establish a unified framework for Taxicab and Cabtaxi numbers within a single algebraic structure. By introducing the matrix $H(n,m)$ of « dual-citizenship cubic numbers » (or cubic dual motors), we show that telescopic bridging $(+)$, signed difference $(-)$ and cubic magnification $(\times k^3)$ obey an operator theory in which only cubic multiplication is amplifying. An exhaustive sweep up to $5 \times 10^6$ and a magnification hunt up to $10^{43}$ reveal an empirical law of forced cubes: below $1.5 \times 10^{11}$, every integer with simultaneously $\geq 3$ positive and $\geq 4$ signed representations is divisible by a perfect cube. We identify a resonance ladder where the primes $79, 101, 127, 139$ form a conversion ramp signed $\to$ positive, and document the first double-high-pressure hybrid specimens ($\geq 12$ signed and $\geq 8$ positive). This work extends our earlier research on taxicabs (Couet, 2026, Zenodo). Acknowledgments. The author warmly thanks the artificial intelligence assistants Kimi K 2.6 Thinking and K3 (Moonshot AI) for their algorithmic contribution and editorial assistance. Their computation engines enabled the exploration of magnification ladders and the cross-validation of counts up to $10^{43}$. Édit V2 : ajout d'un dialogue théorique avec Gemini Flash (Google), que je remercie également, sur les liens potentiels avec la Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Édit V2.1 : Nous introduisons la matrice \(H(n,m)\) pour unifier les nombres de Taxicab (représentations positives) et de Cabtaxi (représentations signées) en une seule carte arithmétique. Cette approche révèle une loi spectrale : la signature des premiers actifs est un invariant de la courbe elliptique sous-jacente, permettant de prédire les magnifications sans exploration exhaustive. L'enrichissement de la matrice H(n,m)H(n,m) démontre que tous les taxicabs connus à partir de Ta(3) possèdent des représentations signées supplémentaires — ils sont donc aussi des Cabtaxis par une autre voie. Cette propriété est vérifiée pour Ta(3), Ta(4), Ta(5), Ta(6), BTa(7), BTa(8), BTa(9), BTa(11), et se généralise à tous les spécimens de la matrice hors de la diagonale m=nm=n. Le cas Ta(2) = 1729 reste l'exception fondatrice : il est un taxicab pur, sans ombre cabtaxi. Notre campagne de calcul (moteur v2 avec BFS multi-graines et sur-valuation native) exhume des spécimens record inédits, notamment :- DIXHUIT9 \((9,18)\), un nombre de \(10^{60}\) chiffres avec 9 décompositions positives et 18 signées ;- ONZE19 \((11,19)\), le sommet actuel de la matrice, atteint par magnification du champion de Boyer BTa 11 via le premier triplement actif \(67^3\). Toutes les décompositions sont vérifiées par évaluation directe en précision arbitraire. Ces découvertes confirment la fertilité inépuisable de certaines courbes elliptiques (cœurs de Ta(5) et BTa(11)), et ouvrent des perspectives théoriques sur la distribution des points entiers dans les twists cubiques de la cubique de Fermat, en lien avec la borne de Silverman et la conjecture de Birch–Swinnerton-Dyer pour les courbes CM. Édit V3 : vise les fichiers C, résultats non reproduits dans les PDF A001 et B001. Ces nombres ne sont pas "Taxicabs" purs mais sommes de deux cubes. Leurs tailles interdisent toute preuve de minimalité (pour analogie, c'est comme présenter un troupeau de porcs de 300 kgs à un concours de melons). Néanmoins, ils constituent une validation de notre démarche théorique avec la détermination du rang d'une courbe elliptique. Français : Cette version marque un changement d'échelle majeur en reliant nos avancées théoriques sur la structure des courbes elliptiques (Y^2 = X^3 - 432K^2) à leur exploitation computationnelle. En nous appuyant sur l'analyse des facteurs de Tamagawa, la certification du rang géométrique (r = 4) et l'établissement des bornes supérieures (r \le 5, 6, 7), nous implémentons un moteur d'amplification arithmétique piloté par la loi de groupe de Mordell-Weil. Ce cadre permet d'extraire une base de générateurs et de produire explicitement des représentations certifiées d'entiers monstrueux en sommes de deux cubes (a^3 + b^3 = N), atteignant plusieurs centaines de chiffres. English: This release marks a major leap forward by directly connecting our theoretical advances on elliptic curve structures (Y^2 = X^3 - 432K^2) to their computational execution. Building upon Tamagawa factor analysis, proven rank-4 certification, and rigorous upper bounds (r \le 5, 6, 7), we implement an arithmetic amplification engine driven by the Mordell-Weil group law. This framework extracts a certified basis of independent generators to systematically construct giant integer representations as sums of two cubes (a^3 + b^3 = N), reaching hundreds of digits. Édit V4 : about D files, which are not resumed in A001 and B001 PDF. Our experiments seems to provide a new reproductible method for computational arithmetic geometry. Français : Cette session compute établit une validation structurelle sans précédent pour la chaîne de bornes de Taxicab BTa(11) à BTa(19) de Boyer–Wroblewski. En partant du cœur cube-free \(K_{11}=3956875867=7\cdot31\cdot37\cdot43\cdot73\cdot157\), la courbe elliptique \(E_{K_{11}}:Y^2=X^3-432K_{11}^2\) (rang au moins 6) est sondée par balayage profond du réseau de Mordell–Weil : combinaisons entières de coefficients jusqu’à \(5\) sur une base certifiée, générant 882 812 représentations uniques de la forme \(a^3+b^3 = k^3 K_{11}\) (jusqu’à 2 500 chiffres), vérifiées exactement par évaluation directe. Des balayages exhaustifs complets sur deux courbes de rang 4 (\(K_W=222\,859\) et \(K_{Ca10}=152\,551\)) servent de comparaison. 1) Saturation intégrale : les fenêtres historiques BTa(11) à BTa(19) sont capturées dès les plus petits coefficients (\(|m_i|\le 2\)) et leurs comptages restent rigoureusement stables jusqu’à \(|m_i|\le 5\), démontrant que ces bornes sont les plus courts vecteurs du réseau sur \(K_{11}\).2) Lois empiriques universelles : la proportion de représentations positives est rigoureusement \(1/3\) (indépendante du rang) ; une loi taille–hauteur relie le nombre de chiffres de \(N\) à la hauteur de Néron–Tate, avec une pente \(0,6485\) conforme à la théorie \((3/(2\ln10))\).3) Minimalité locale : aucun autre nombre produit par le réseau ne possède plusieurs représentations positives en dehors de la chaîne BTa ; sur \(K_{11}\), les BTa sont donc les plus petits Taxicabs de leurs grades respectifs jusqu’à 19 voies. La minimalité absolue (face aux autres courbes) reste ouverte. Ce travail fournit une preuve algorithmique de l’optimalité de la construction de Boyer sur la courbe \(K_{11}\), et livre une base de données de 1 206 335 représentations extraites cubiques certifiées. English: This computational session provides an unprecedented structural validation of the Boyer–Wroblewski Taxicab bound chain BTa(11) through BTa(19). Starting from the cube-free kernel \(K_{11}=3956875867=7\cdot31\cdot37\cdot43\cdot73\cdot157\), the elliptic curve \(E_{K_{11}}:Y^2=X^3-432K_{11}^2\) (rank at least 6) is deeply explored by a full Mordell–Weil lattice sweep: integer combinations of coefficients up to \(5\) on a certified basis generate **882 812 unique representations** \(a^3+b^3 = k^3 K_{11}\) (up to 2 500 digits), each verified exactly by direct evaluation. Exhaustive sweeps on two rank-4 curves (\(K_W=222\,859\) and \(K_{Ca10}=152\,551\)) are provided for comparison. 1) Full saturation: the historical windows BTa(11) through BTa(19) are captured at the smallest coefficients (\(|m_i|\le 2\)) and their counts remain strictly stable up to \(|m_i|\le 5\), proving that these bounds are the shortest lattice vectors on \(K_{11}\).2) Universal empirical laws: the fraction of positive representations is exactly \(1/3\) (rank-independent); a size–height law relates the number of digits of \(N\) to the Néron–Tate height, with a measured slope \(0.6485\) matching theory \((3/(2\ln10))\).3) Local minimality: no other lattice-produced number carries multiple positive representations outside the BTa chain; on \(K_{11}\), the BTa values are therefore the smallest Taxicabs of their respective grades up to 19 ways. Absolute minimality (against other curves) remains open. This work delivers an algorithmic certificate of Boyer’s construction optimality on the \(K_{11}\) curve, and provides a public dataset of 1 206 335 certified cubic representations. V5 : on E files, not on PDF. Français : Cette campagne de calcul unifiée explore quatre courbes elliptiques fertiles de la famille \(X^3+Y^3=K\) (cœurs cube-free) : \(K=1729\) (Ta(2)), \(K=3\,242\,197\) (Ta(3)), \(K=503\,723\,402\) (K_4, cœur de Ta(4)) et \(K=82\,652\,823\,799\) (K_B, cœur de Ta(5)). Elle constitue une validation systématique de la méthode de balayage du réseau de Mordell–Weil sur des courbes de rangs 2 à 7, et une vérification exhaustive des bornes historiques de Boyer. Méthode et données : Le moteur unifié `moteur_v4.py` combine l’extraction de bases de Mordell–Weil (certifiées par matrices de Gram), le balayage réseau par combinaisons entières (profondeurs 3 à 14 selon les courbes) et le comptage exact de Broughan pour les fenêtres historiques. La session génère 2 490 678 représentations vérifiées de la forme \(a^3+b^3 = k^3 K\), dont plus de 2,3 millions sur la seule courbe K_B à profondeur 4 (4,8 millions de points évalués). Toutes les identités sont certifiées par évaluation directe en précision entière. Apports théoriques : 1) Saturation intégrale : pour les quatre courbes, les fenêtres historiques (Ta(4), Ta(5), Ta(6), BTa(7), BTa(8), BTa(9)) sont capturées dès les plus petites combinaisons du réseau et restent stables à profondeur supérieure, prouvant que ces bornes sont les plus courts vecteurs du réseau sur leur courbe respective. 2) Universalité des lois empiriques : la loi du tiers (proportion de représentations positives = 1/3), la loi taille–hauteur (nombre de chiffres de \(N\) en fonction de la hauteur de Néron–Tate) et la fibre 2-à-1 sont vérifiées sur l’ensemble des courbes, incluant la plus petite (Ta(2)). 3) Loi des étages (nouvelle) : sur les sept courbes cartographiées (rangs 2 à 7), le régulateur suit \(\log_{10} R \approx 0{,}985\,r - 1{,}68\), soit un facteur \(\approx 10\) par direction indépendante (corrélation \(R^2 > 0,99\) sur l’échantillon). Conséquences pour les bornes BTa : La rampe Boyer \(Ta(5)\to Ta(6)\to BTa(7)\to BTa(8)\to BTa(9)\) est intégralement validée sur sa courbe \(K_B\) : chaque magnification par \(79^3, 101^3, 127^3, 139^3\) ajoute exactement une représentation positive et une signée, et aucune représentation supplémentaire n’apparaît dans le réseau jusqu’à des profondeurs bien supérieures aux fenêtres historiques. La saturation simultanée sur K_4, K_11, K_W, K_Ca10 et sur les villages Ta2/Ta3 confirme que les bornes historiques sont des objets géométriques stables, non des artefacts de calcul. La session clôt la question de la minimalité locale sur ces courbes : les BTa(7–9) sont bien les plus petits de leurs grades sur leurs cœurs respectifs. Les fichiers associés (JSON, codes, journaux) fournissent les représentations explicites et vérifiées de toutes les bornes, les balayages complets, les régulateurs et les signatures de fission. English: This unified computational campaign explores four fertile elliptic curves from the family \(X^3+Y^3=K\) (cube-free kernels): \(K=1729\) (Ta(2)), \(K=3\,242\,197\) (Ta(3)), \(K=503\,723\,402\) (K_4, kernel of Ta(4)) and \(K=82\,652\,823\,799\) (K_B, kernel of Ta(5)). It provides a systematic validation of the Mordell–Weil lattice sweeping method on curves of ranks 2 through 7, and an exhaustive verification of Boyer’s historical bounds. Method and data:The unified engine `moteur_v4.py` combines Mordell–Weil basis extraction (certified by Gram matrices), lattice sweeping by integer combinations (depths 3 to 14 depending on the curve), and exact Broughan counting for historical windows. The session yields 2 490 678 verified representations of the form \(a^3+b^3 = k^3 K\), including over 2.3 million on K_B alone at depth 4 (4.8 million evaluated points). All identities are certified by direct integer evaluation. Theoretical contributions: - Full saturation: on all four curves, the historical windows (Ta(4), Ta(5), Ta(6), BTa(7), BTa(8), BTa(9)) are captured at the smallest lattice combinations and remain stable at higher depth, proving that these bounds are the shortest lattice vectors on their respective curves. - Universality of empirical laws: the law of thirds (fraction of positive representations = 1/3), the size–height law (number of digits of \(N\) vs Néron–Tate height) and the 2-to-1 fibre are verified across all curves, including the smallest (Ta(2)). - New staircase law: over the seven mapped curves (ranks 2 to 7), the regulator follows \(\log_{10} R \approx 0.985\,r - 1.68\), i.e. a factor \(\approx 10\) per independent direction (\(R^2 > 0.99\) on the sample). Implications for BTa bounds: The Boyer ramp \(Ta(5)\to Ta(6)\to BTa(7)\to BTa(8)\to BTa(9)\) is fully validated on its curve \(K_B\): each magnification by \(79^3, 101^3, 127^3, 139^3\) adds exactly one positive and one signed representation, and no additional representations appear in the lattice up to depths well beyond the historical windows. The simultaneous saturation on K_4, K_11, K_W, K_Ca10 and on the villages Ta2/Ta3 confirms that the historical bounds are stable geometric objects, not computation artefacts. This session closes the question of local minimality on these curves: BTa(7–9) are indeed the smallest of their respective grades on their kernels. The accompanying files (JSON, code, logs) provide the explicit verified representations of all bounds, full sweeps, regulators and fission signatures. Édit V6 : A new specimen for BTa 23 and new candidates 23-ways to 29-ways Session 8 : Au-delà de BTa(23) Cette session de calcul établit la structure complète de la chaîne Boyer–Wroblewski–Su de BTa(11) à BTa(23), et découvre un nouveau candidat pour Ta(23) inférieur à la meilleure borne publiée. Elle prolonge également l’échelle multiplicative jusqu’à 29 représentations positives. Autopsie de la chaîne. Les quatre bornes BTa(20) à BTa(23) sont factorisées ; toutes partagent le même cœur cube-free K11 = 3956875867. Aucun nouveau cœur n’apparaît : la courbe K11 (rang ≥ 6) porte seule l’intégralité de la chaîne de BTa(11) à BTa(23). Les rapports de magnification sont exacts et documentés. La matrice H(n,m) est consolidée : BTa(20) = (20, 31), BTa(21) = (21, 32), BTa(22) = (22, 35), BTa(23) = (23, 36). L’étage 21→22 (× (11·31·103)³) est le seul à ajouter +3 représentations signées ; tous les autres ajoutent +1 positif et +1 signé. Les comptages sont stables sur les profondeurs 3, 4 et 5 du réseau de Mordell–Weil. Nouveau candidat pour Ta(23). La borne BTa(23) utilisée en référence est celle de Po-Chi Su (2016) pour Ta(23) (et non une borne de Boyer comme l'indiquait par erreur d'attribution le F001.md, sans impact sur la validité numérique). Notre chasse par optimisation du ppcm des facteurs de fission produit un candidat 23-way – baptisé VINGTROIS23 – dont la valeur est 0,281 × BTa(23)_Su, soit 3,56 fois plus petit que la meilleure borne publiée. Ses 36 représentations (23 positives, 13 mixtes) sont vérifiées par évaluation directe ; les coefficients de Mordell–Weil sont |mi| ≤ 2, stables en profondeur. Minimalité non prouvée. Prolongement de l’échelle. La méthode gloutonne (paires et triples de premiers actifs) prolonge la chaîne au-delà de BTa(23) avec des spécimens documentés jusqu’à 29-way : (24, 37), (25, 38), (26, 39), (27, 40), (28, 41), (29, 42). Chacun est fourni avec ses décompositions complètes, ses combinaisons de Mordell–Weil, et une étiquette claire de candidat non minimal. Ce travail confirme que K11 reste la courbe-mère de toute la chaîne jusqu’à BTa(23), améliore significativement la borne supérieure pour Ta(23), et ouvre la voie à une exploration systématique des facteurs de fission dormants. English – Session 8: Beyond BTa(23) This computational session establishes the full structure of the Boyer–Wroblewski–Su chain from BTa(11) to BTa(23), and discovers a new candidate for Ta(23) below the best published bound (the F001.md attributed BTa 23 to Boyer but this number is known from Su's work, no impact on the numerical validity of the claims). It also extends the multiplicative ladder up to 29 positive representations. Autopsy of the chain. The four bounds BTa(20) through BTa(23) are fully factorised; all share the same cube‑free kernel K11 = 3956875867. No new kernel appears: the curve K11 (rank ≥ 6) alone carries the entire chain from BTa(11) to BTa(23). All magnification ratios are exact and documented. The H(n,m) matrix is consolidated: BTa(20) = (20, 31), BTa(21) = (21, 32), BTa(22) = (22, 35), BTa(23) = (23, 36). The step 21→22 (× (11·31·103)³) is the only one adding +3 signed representations; all others add +1 positive and +1 signed. Counts are stable at depths 3, 4 and 5 of the Mordell–Weil lattice. New candidate for Ta(23). The reference bound BTa(23) used here is the one by Po‑Chi Su (2016) for Ta(23) (not a Boyer bound). Our search by ppcm optimisation of the splitting factors yields a 23‑way candidate – named VINGTROIS23 – whose value is 0.281 × BTa(23)_Su, i.e. 3.56 times smaller than the best published upper bound. Its 36 representations (23 positive, 13 mixed) are verified by direct evaluation; the Mordell–Weil coefficients satisfy |mi| ≤ 2, stable with depth. Minimality is not proven. Extension of the ladder. A greedy search (pairs and triples of active primes) extends the chain beyond BTa(23) with documented specimens up to 29‑way: (24, 37), (25, 38), (26, 39), (27, 40), (28, 41), (29, 42). Each is provided with full decompositions, Mordell–Weil combinations, and a clear non‑minimal candidate label. This work confirms that K11 remains the master curve for the whole chain up to BTa(23), significantly improves the upper bound for Ta(23), and opens the way for a systematic exploration of dormant splitting factors. Édit V7 : Session 9 — Clarifications théoriques FR Le cube forcé. Vérifié à 10^12 : 120 hybrides (3,4+) trouvés, tous divisibles par un cube. 7 nombres cube-free atteignent 4 décompositions signées, mais jamais plus de 2 positives. Mur empirique, pas une preuve. La fenêtre positive s^3 > N est multiplicativement étroite (rapport 4^(1/3) ~ 1,587), rendant l'événement statistiquement rare. BSD numérique. Sur K_W et K_Ca10 (rang 4), Sha = 1 à six décimales. Nos bases de rang 4 sont saturées (indice 1). Conjecture V4 validée sur ces deux courbes. Ta(3) : le 4ème générateur manquant. Rang analytique 4, mais 3 directions visibles seulement. BSD prédit un 4ème générateur de hauteur ~10,9 (dénominateur k ~ 10^7). Cible de chasse précise : le seul trou du corpus où BSD pointe un point non encore trouvé. Rang différent de n-way. Le rang est la dimension du réseau MW. Le n-way est le nombre de représentations positives pour un N donné. Un rang élevé ne donne pas des n-ways gratuits : le régulateur R explose avec le rang. K_B (rang 7) s'arrête à 9-way avec c = 10^10 ; K_11 (rang 6) monte à 23-way à c = 10^55. Loi d'Interférence. 21/22 substitutions doubles testées sont stériles. La fertilité n'est pas additive : deux substitutions qui marchent séparément s'annulent combinées. Propriété globale, pas somme de propriétés locales. EN The forced cube. Verified to 10^12 : 120 hybrids (3,4+) found, all divisible by a cube. 7 cube-free numbers reach 4 signed decompositions, but never more than 2 positive. Empirical wall, not a proof. The positive window s^3 > N is multiplicatively narrow (ratio 4^(1/3) ~ 1.587), making the event statistically rare. Numerical BSD. On K_W and K_Ca10 (rank 4), Sha = 1 to six decimals. Our rank-4 bases are saturated (index 1). Conjecture V4 validated on these two curves. Ta(3) : the missing 4th generator. Analytic rank 4, but only 3 visible directions. BSD predicts a 4th generator of height ~10.9 (denominator k ~ 10^7). Precise hunting target : the only hole in the corpus where BSD points to a point not yet found. Rank is not n-way. Rank is the dimension of the MW lattice. n-way is the number of positive representations for a given N. High rank does not give free n-ways : the regulator R explodes with rank. K_B (rank 7) stops at 9-way with c = 10^10 ; K_11 (rank 6) reaches 23-way at c = 10^55. Interference Law. 21/22 double substitutions tested are sterile. Fertility is not additive : two substitutions that work separately cancel when combined. A global property, not a sum of local properties. Édit V7.1 : fichiers G20 et G003, découverte du rang 4 de la courbe de Ta 3, comme attendu selon la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Édit V8 : Vise les fichiers H. recherche de propriétés structurelles par la théorie des graphes. (Pour le graphe H04, j'aurais aimé une recherche fondée sur les représentations cubiques et j'y vois essentiellement une redite de H02 sur les splitting factors). L'étude fait essentiellement émerger l'idée que la minimalité d'une borne ne peut pas être décelée a priori par la répartition des facteurs de scission : "La minimalité est un accident de calendrier ; la signature modulaire, elle, est une propriété de la terre. Les bornes passeront, les courbes resteront." Édit V9 : vise les trois fichiers I. Ce jeu de données présente les résultats de l'Opération Phoenix Rising, une étude computationnelle des courbes elliptiques associées aux nombres somme de deux bicarrés en deux façons (Taxicab(4,2,2)). À l'aide de PARI/GP et d'un moteur Python dédié, nous établissons que pour 53 des 95 classes d'isomorphisme de ces courbes, aucune 3ᵉ représentation n'existe pour quelque magnification que ce soit — preuve finie et exacte fondée sur la 2-descente et l'obstruction de classe sans carré (verrou 1). Pour les 42 familles restantes, l'absence de 3ᵉ représentation est établie empiriquement à hauteur bornée. Résultat théorique clé : la courbe elliptique E_{N·k⁴} est isomorphe à E_N sur ℚ pour tout k ≥ 1, rendant le rang constant sur chaque famille de magnification. Cela réduit une recherche infinie à un balayage fini de réseau. Le jeu de données comprend le rapport complet, les résultats JSON bruts pour 97 courbes, et le moteur Python. Ce travail est complémentaire à la borne numérique de Gascoigne (aucun 3-voies trouvé sous 2,6×10²⁶) : nous n'améliorons pas la borne numérique, mais nous prouvons l'impossibilité structurelle pour 53 familles quelle que soit la taille de la magnification. This dataset presents the results of Operation Phoenix Rising, a computational study of the elliptic curves associated with numbers expressible as a sum of two fourth powers in two ways (Taxicab(4,2,2)). Using PARI/GP and a custom Python engine, we establish that for 53 out of 95 isomorphism classes of such curves, no third representation exists for any magnification — a finite, exact proof based on 2-descent and the square-class obstruction (verrou 1). For the remaining 42 families, the absence of a third representation is established empirically to bounded height. Key theoretical result : the elliptic curve E_{N·k⁴} is isomorphic to E_N over ℚ for all k ≥ 1, making the rank constant across magnification families. This reduces an infinite search to a finite lattice sweep. The dataset includes the full report, the raw JSON results for 97 curves, and the Python engine. This work is complementary to the numerical bound of Gascoigne (no 3-way found below 2.6×10²⁶) : we do not improve the numerical bound, but we prove structural impossibility for 53 families regardless of magnification size. Edit : ajout de verify_resume.py (vérificateur local incrémental à checkpoints, arithmétique entière exacte) permettant de revérifier de bout en bout F11-bt20_23_autopsie.json en une commande : python3 verify_resume.py F11-bt20_23_autopsie.json --auto. Journal complet certifiant la lignée BTa(20) → CKTa(29) fourni dans checkpoint_verify.json (407 paires vérifiées, ratios d'amélioration inclus). Édit : Fichiers cathédrale. New upper bounds CKTa 29 à CKTa100. Édit Bis : ajout du .zip Certification_Upper_Bounds_Chain_20_100, vérification complète de la chaîne avec représentations positives et signées, ainsi que les ratios pour les deux nouvelles bornes 23 et 24. Remerciements. L'auteur remercie chaleureusement les assistants d'intelligence artificielle Kimi K 2.6 Thinking, K3 (Moonshot AI), Gemini Flash (Google) et DeepSeek (深度求索). Ce travail est distribué sous licence MIT. https://youtu.be/ZxYBGoGX6Dc