在 [0, N − 2] 中存在 x 使 N ± x 均为素数——哥德 巴赫猜想的塔式筛证明

哥德巴赫猜想断言每个大于2的偶数可表示为两个素数之和。本文发展了一种新的筛法——塔式模型筛,通过逐层剔除模每个素数的至多两个“坏”剩余类,精确控制每一步的剩余集结构。对任意充分大的偶数 $2N$,令 $A=[0,N-2]$,定义 $B=[0,Q_t-1]$,其中 $Q_t=\prod_{j=1}^{t}P_j$,$t$ 满足 $P_t^2\ge 2N-2$。补集 $C=B\setminus A$ 通过平移化为 $C^*=[0,M-1]$,$M=Q_t-(N-1)$。在平移区间上应用塔式筛,每一步的完整周期数均 $\ge 1$,Halberstam–Richert 均匀分布引理严格适用,误差线性累积。递推得到 $C^*$ 中好点个数的上界 $N_{C^*}\le M A_t + 2t$,其中 $A_t = \frac12\prod_{i=2}^{t}\frac{P_i-2}{P_i}$。利用 $B$ 中好点总数 $r_t = N_A + N_{C^*}$,导出 $A$ 中好点个数的下界 $N_A \ge (N-1)A_t - 2t$。应用 Mertens 定理的显式下界,我们严格证明当 $N\ge 5\times10^5$ 时 $N_A>0$,且该下界函数对更大 $N$ 单调递增趋于无穷。从而存在 $x\in[0,N-2]$ 使 $N\pm x$ 均为素数,即 $2N$ 可表为两素数之和。更小的偶数可直接验证,故哥德巴赫猜想成立。本方法完全初等,不依赖未证明的猜想,绕过了传统筛法的奇偶性障碍。