孪生素数猜想的初等证明:基于塔式筛与多筛补偿法

孪生素数猜想是数论中最古老的未解决问题之一:存在无穷多对相差2的素数 $(p, p+2)$。本文在多筛补偿法框架下给出该猜想的一个严格初等证明。我们构造观测区间 $A=[1,P_t^2]$,其中 $P_t$ 是第 $t$ 个素数。利用平方区间性质,将问题转化为在 $A$ 中寻找满足 $x \not\equiv \pm 1 \pmod{P_i}$($i\le t$)的数。引入塔式筛法逐层剔除,每一步的幸存集保持模 $Q_{i-1}=P_1\cdots P_{i-1}$ 的周期结构,误差仅来源于区间边界,有常数上界。为绕过奇偶性障碍,采用多筛补偿法:先筛三个坏点 $\{1,-1,0\}$,再加上余数 $0$ 的计数作为补偿,利用补偿项 $D \approx N/P_i$ 的量级远大于误差常数这一事实,证明 $N^{(2)} > N \cdot (P_i-3)/P_i$。迭代得 $N(A) > \frac{P_t^2}{6}\prod_{i=3}^t (1-3/P_i)$。由Mertens定理,右边趋于无穷,从而存在无穷多对孪生素数。