Data and Computations for 'Basis of Weakly Holomorphic Modular Form Spaces for Squarefree Level Cases

Let $\mbox{Ex}(N) = \{ 1, e_{1}, e_{2}, \cdots \}$ be a group of exact divisors of $N$ under the opreration $e * e' = ee' / \gcd(e,e')^2$. By a sign pattern $\varepsilon$ for $N$ is meant a group homomorphism$$\varepsilon : \mbox{Ex}(N) \to \{\pm 1\}, \qquad \varepsilon(1) =1.$$ For a sign pattern $\varepsilon$ of $N$, let $M_{k}^{\varepsilon}(N)$ (resp. $S_{k}^{\varepsilon}(N)$) be a subset of $M_{k}(N)$ (resp. $S_{k}(N)$) consisitng of all forms $f$ such that the Atkin-Lehner eigenvalue of $f$ is $\varepsilon(p)$ for every $p |N$, that is \begin{eqnarray*}M_{k}^{\varepsilon}(N) &:=& \{ f \in M_{k}(N) : f \mid_{k} W_{p} = \varepsilon (p) f \quad \mbox{for every prime}~ p|N\}, \crS_{k}^{\varepsilon}(N) &:=& \{ f \in S_{k}(N) : f \mid_{k} W_{p} = \varepsilon (p) f \quad \mbox{for every prime}~ p|N\}.\end{eqnarray*} Similarly we can define $M_{k}^{!,\varepsilon}(N)$ by the subspace of the weakly holomorphic modular form space $M_{k}^{!}(N)$ with a sign pattern $\varepsilon$. Let $m_{N,k}^{\varepsilon} := \max\{ \mbox{ord}_{\infty} f : f \in M_{N,k}^{\varepsilon}\}$. Then the form $f$ in $M_{N,k}^{\varepsilon}$ such that $\mbox{ord}_{\infty} f = m_{N,k}^{\varepsilon}$ uniquely exists.We denote such $f$ by $\Delta_{N,k}^{\varepsilon}$, that is $\Delta_{N,k}^{\varepsilon}$ is the unique form in $M_{N,k}^{\varepsilon}$ with maximal order of vanishing at infinity. We exhibit the recipe for construct $\Delta_{N,k}^{\varepsilon}$ and its $q$-expansion The data files are sorted by space level and each level has a separate folder. In each level's folder, there is a separate text file for each possible sign pattern at that level and the weight required for basis construction. These text files provide information on how to find the delta and its q-expansion. The file names follow the convention D{level}{sign pattern}{weight}.For instance, the file named "D102pmm2" in the N=102 folder deals with finding $\Delta_{102,2}^{(+,-,-)}$ for level $102$, sign pattern $(+,-,-)$, and weight $2$.我们定义 $operatorname{Ex}(N) = {1, e_1, e_2, dots}$ 为 $N$ 的一组正合因子，其在运算 $e * e' = frac{ee'}{gcd(e,e')^2}$ 下构成一个群。 称 $varepsilon$ 为 $N$ 的一个**符号模式（sign pattern）**，即满足群同态 $varepsilon: operatorname{Ex}(N) o {pm1}$ 且 $varepsilon(1)=1$。 对于 $N$ 的一个符号模式 $varepsilon$，记 $M_{k}^{varepsilon}(N)$（分别对应 $S_{k}^{varepsilon}(N)$）为 $M_{k}(N)$（分别对应 $S_{k}(N)$）的子集，其中的所有模形式 $f$ 满足：对每个整除 $N$ 的素数 $p$，$f$ 的阿廷-勒纳（Atkin-Lehner）特征值为 $varepsilon(p)$，即： $$ \begin{aligned} M_{k}^{\varepsilon}(N) &:= \left{ f \in M_{k}(N) : \forall \text{素数 } p \mid N,\, f mid_{k} W_{p} = \varepsilon(p) f \right}, \ S_{k}^{\varepsilon}(N) &:= \left{ f \in S_{k}(N) : \forall \text{素数 } p \mid N,\, f mid_{k} W_{p} = \varepsilon(p) f \right}. \end{aligned} $$ 类似地，我们可以定义 $M_{k}^{!,varepsilon}(N)$，它是弱全纯模形式空间 $M_{k}^{!}(N)$（weakly holomorphic modular form space）中适配符号模式 $varepsilon$ 的子空间。 记 $m_{N,k}^{varepsilon} := \max\left\{ \operatorname{ord}_\infty f \mid f \in M_{k}^{\varepsilon}(N) \right\}$，其中 $operatorname{ord}_\infty f$ 表示模形式 $f$ 在无穷远点的零点阶数。则在 $M_{k}^{\varepsilon}(N)$ 中存在唯一的模形式 $f$，满足 $operatorname{ord}_\infty f = m_{N,k}^{\varepsilon}$。我们将该唯一模形式记为 $Delta_{N,k}^{\varepsilon}$，即 $Delta_{N,k}^{\varepsilon}$ 是 $M_{k}^{\varepsilon}(N)$ 中在无穷远点具有最大零点阶数的唯一模形式。 本文给出了构造 $Delta_{N,k}^{\varepsilon}$ 及其 $q$ 展开式（$q$-expansion）的方法。 本数据集的文件按模形式空间的级（space level）进行分类，每个级对应一个独立的文件夹。在每个级的文件夹中，针对该级下所有可能的符号模式以及构造基所需的权值，均设有单独的文本文件。这些文本文件将说明如何获取对应的 $Delta$ 模形式及其 $q$ 展开式。 文件名遵循 `D{级}{符号模式}{权值}` 的命名规范。例如，在 $N=102$ 的文件夹中，名为 `D102pmm2` 的文件对应级为102、符号模式为 $(+,-,-)$、权值为2的 $Delta_{102,2}^{(+,-,-)}$ 的构造说明。