Conditional Foster-Lyapunov Criterion for 2-adic Maps : From Collatz to the a=4 Threshold

**Description (English) :** This preprint establishes a conditional framework for the analysis of Collatz-type 2-adic iterations. We show that for iterative systems defined by $T_a : n \mapsto (an+1)/2^{v_2(an+1)}$ with odd $a$, the altitude function $V(n) = \log_2(n)$ is a Foster-Lyapunov function whose mean logarithmic drift per cycle is $\mu(a) = \log_2(a) - 2$. A universal critical threshold $a = 4$ follows: under an exponential mixing hypothesis for the 2-adic valuations, the system is positively recurrent (convergent) if $a < 4$ and transient (divergent) if $a > 4$. For the case $a = 3$ (the Syracuse / $3x+1$ problem), this implies conditional convergence to the trivial cycle $1 \to 4 \to 2 \to 1$. The work includes exact proofs of the valuation distribution lemmas, a formalization of the mixing hypothesis, numerical tests on $a=5$ systems (observed divergence), and an open research programme. The main theorem is **conditional**: it does not solve the Collatz conjecture unconditionally, but provides a rigorous framework reducible to a hypothesis of asymptotic decorrelation. **Description (Français) :** Ce preprint établit un cadre conditionnel pour l'analyse des applications 2-adiques de type Collatz. Nous montrons que pour les systèmes itératifs définis par $T_a : n \mapsto (an+1)/2^{v_2(an+1)}$ avec $a$ impair, la fonction altitude $V(n) = \log_2(n)$ constitue une fonction de Foster-Lyapunov dont la dérive logarithmique moyenne par cycle est $\mu(a) = \log_2(a) - 2$. Il en découle un seuil critique universel $a = 4$ : sous une hypothèse de mélange exponentiel des valuations 2-adiques, le système est positivement récurrent (convergent) si $a < 4$ et transient (divergent) si $a > 4$. Pour le cas $a = 3$ (problème de Syracuse / $3x+1$), cela implique la convergence conditionnelle vers le cycle trivial $1 \to 4 \to 2 \to 1$. Le travail inclut les preuves exactes des lemmes de distribution des valuations, une formalisation de l'hypothèse de mélange, des tests numériques sur les systèmes $a=5$ (divergence observée), et un programme de recherche ouvert. Le théorème principal est **conditionnel** : il ne résout pas la conjecture de Collatz inconditionnellement, mais en fournit un cadre rigoureux réductible à une hypothèse de décorrélation asymptotique.**描述（英文）：** 本预印本建立了科拉茨型2进数（2-adic）迭代分析的条件框架。我们证明，对于由 $T_a : n mapsto (an+1)/2^{v_2(an+1)}$ 定义且$a$为奇数的迭代系统，高度函数 $V(n) = log_2(n)$ 是福斯特-李亚普诺夫函数（Foster-Lyapunov），其每周期平均对数漂移为 $mu(a) = log_2(a) - 2$。 由此可推导出通用临界阈值 $a=4$：在2进赋值满足指数混合假设的前提下，当 $a<4$ 时系统为正常返（收敛），当 $a>4$ 时系统为暂态（发散）。对于 $a=3$ 的情况（叙拉古/3x+1问题），该结论意味着系统条件收敛于平凡循环 $1 o 4 o 2 o 1$。 本研究包含赋值分布引理的严格证明、混合假设的形式化表述、针对$a=5$系统的数值测试（观测到发散现象）以及一项开放研究计划。本工作的主定理**具有条件性**：它并未无条件地解决科拉茨猜想，而是提供了一个可简化为渐近去相关假设的严谨分析框架。 **描述（法文）：** 本预印本建立了科拉茨型2进数（2-adic）迭代分析的条件框架。我们证明，对于由 $T_a : n mapsto (an+1)/2^{v_2(an+1)}$ 定义且$a$为奇数的迭代系统，高度函数 $V(n) = log_2(n)$ 为福斯特-李亚普诺夫函数（Foster-Lyapunov），其每周期平均对数漂移为 $mu(a) = log_2(a) - 2$。 由此可推导出通用临界阈值 $a=4$：在2进赋值满足指数混合假设的前提下，当 $a<4$ 时系统为正常返（收敛），当 $a>4$ 时系统为暂态（发散）。对于 $a=3$ 的情况（叙拉古/3x+1问题），该结论意味着系统条件收敛于平凡循环 $1 o 4 o 2 o 1$。 本研究包含赋值分布引理的严格证明、混合假设的形式化表述、针对$a=5$系统的数值测试（观测到发散现象）以及一项开放研究计划。本工作的主定理**具有条件性**：它并未无条件地解决科拉茨猜想，而是提供了一个可简化为渐近去相关假设的严谨分析框架。